الرياضيات المتناهية الأمثلة

$2 e^{2 x} - 5 e^{x} + 4 = 0$

خطوة 1

أعِد كتابة $e^{2 x}$ في صورة أُس.

$2 {(e^{x})}^{2} - 5 e^{x} + 4 = 0$

خطوة 2

عوّض بقيمة $e^{x}$ التي تساوي $u$ .

$2 u^{2} - 5 u + 4 = 0$

خطوة 3

أوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 3.2

عوّض بقيم $a = 2$ و $b = - 5$ و $c = 4$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $u$ .

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 4)}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

ارفع $- 5$ إلى القوة $2$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 2 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.3.1.2

اضرب $- 4 \cdot 2 \cdot 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.2.1

اضرب $- 4$ في $2$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 8 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.3.1.2.2

اضرب $- 8$ في $4$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 32}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.3.1.3

اطرح $32$ من $25$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.3.1.4

أعِد كتابة $- 7$ بالصيغة $- 1 (7)$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.3.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (7)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.3.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$u = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.3.2

اضرب $2$ في $2$ .

$u = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{4}$

خطوة 3.4

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$u = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}, \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$

خطوة 4

عوّض بـ $\frac{5 + i \sqrt{7}}{4}$ عن $u$ في $u = e^{x}$ .

$\frac{5 + i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$

خطوة 5

أوجِد حل $\frac{5 + i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $e^{x} = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}$ .

$e^{x} = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}$

خطوة 5.2

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

خطوة 5.3

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

وسّع $\ln (e^{x})$ بنقل $x$ خارج اللوغاريتم.

$x \ln (e) = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

خطوة 5.3.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

خطوة 5.3.3

اضرب $x$ في $1$ .

$x = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

خطوة 5.4

وسّع الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

أعِد كتابة $\ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$ بالصيغة $\ln (5 + i \sqrt{7}) - \ln (4)$ .

$x = \ln (5 + i \sqrt{7}) - \ln (4)$

خطوة 5.4.2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{7}$ في صورة $7^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

خطوة 5.4.3

أعِد كتابة $\ln (4)$ بالصيغة $\ln (2^{2})$ .

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

خطوة 5.4.4

وسّع $\ln (2^{2})$ بنقل $2$ خارج اللوغاريتم.

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - (2 \ln (2))$

خطوة 5.4.5

اضرب $2$ في $- 1$ .

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - 2 \ln (2)$

خطوة 5.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1.1

بسّط $- 2 \ln (2)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

خطوة 5.5.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

خطوة 5.5.2

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x = \ln (\frac{5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})$

خطوة 6

عوّض بـ $\frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$ عن $u$ في $u = e^{x}$ .

$\frac{5 - i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$

خطوة 7

أوجِد حل $\frac{5 - i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $e^{x} = \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$ .

$e^{x} = \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$

خطوة 7.2

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

خطوة 7.3

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

وسّع $\ln (e^{x})$ بنقل $x$ خارج اللوغاريتم.

$x \ln (e) = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

خطوة 7.3.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

خطوة 7.3.3

اضرب $x$ في $1$ .

$x = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

خطوة 7.4

وسّع الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

أعِد كتابة $\ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$ بالصيغة $\ln (5 - i \sqrt{7}) - \ln (4)$ .

$x = \ln (5 - i \sqrt{7}) - \ln (4)$

خطوة 7.4.2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{7}$ في صورة $7^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

خطوة 7.4.3

أعِد كتابة $\ln (4)$ بالصيغة $\ln (2^{2})$ .

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

خطوة 7.4.4

وسّع $\ln (2^{2})$ بنقل $2$ خارج اللوغاريتم.

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - (2 \ln (2))$

خطوة 7.4.5

اضرب $2$ في $- 1$ .

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - 2 \ln (2)$

خطوة 7.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1.1

بسّط $- 2 \ln (2)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

خطوة 7.5.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

خطوة 7.5.2

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x = \ln (\frac{5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})$

خطوة 8

اسرِد الحلول التي تجعل المعادلة صحيحة.

$x = \ln (\frac{5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4}), \ln (\frac{5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})$